Faktöriyel Hesaplama

Gama fonksiyonu, tam sayı olmayan reel sayılar ve karmaşık sayılar için faktöriyel fonksiyonunun tanımlaması olan bir fonksiyondur. Faktöriyel ise tam sayıların sağına ünlem işareti konularak sıralanmış Gama fonksiyonunun özel durumudur. 22! şeklinde gösterilir ve yirmi iki faktöriyel olarak okunur. Faktöriyel hesaplama matematikte birçok alanda kullanılır ve işlemlerde kolaylık sağlar. Faktöriyel içeren ifadeler, permütasyonda, kombinasyonda, olasılıkta, seri açılımlarında ve iki terimli teoremde ortaya çıkar.

Faktöriyel Nasıl Hesaplanır?

Faktöriyel hesaplama faktöriyeli alınan sayı ve faktöriyel sayısından sonraki 1’e kadar olan tam sayıların ardışık olarak çarpılmasıyla yapılır. Formülize edilirse bir n sayısının faktöriyeli n!=(n-1)x(n-2)x…x1 biçiminde hesaplanır.

0! = 1

1! = 1

2! = 2×1 = 2

3! = 3 x 2x 1 = 6

4! = 4 x 3x 2x 1 = 24

5! = 5 x 4x 3x 2x 1 = 120

Faktöriyeli hesaplanan sayıdan başlanarak 1′ e kadar tüm tam sayıların çarpılmasıyla faktöriyel değeri bulunmuş olur. Ardışık sayılar için bir sayının faktöriyeli kendinden önceki sayının faktöriyeli ile kendisinin çarpılması ile bulunur. Formülize olarak ifade edilirse n sayısının faktöriyeli n! = n x (n-1)! biçimindedir. Bu ifade 6! = 6 x 5! şeklinde örneklendirilebilir.

Faktöriyel Hesaplamanın Kuralları Nelerdir?

Faktöriyel hesaplama yapılırken problemlerin çözümünde kilit olan veya sonuca daha kolay ulaşılmasını sağlayan temel ve yardımcı kurallar bulunur. Kimi problemler için bu kuralların uygulanması kolaylıktan çok problemin çözümünün temelini oluşturduğu için kurallara dikkat etmek gereklidir. Bu kurallardan ilki, problem içerisindeki büyük faktöriyelin küçük faktöriyele indirgenerek yazılmasıdır. Böylece işlemler içindeki sadeleştirmeler daha net bir şekilde görülür ve paranteze alma işlemi kolaylaşır. İkinci kural, tam bölünme kuralına ilişkindir. Buna göre her hangi bir sayı, küçük faktöriyelli sayıyı tam bölüyorsa; aynı sayı büyük faktöriyelli sayıyı da tam böler. Bunun matematiksel açıklaması büyük faktöriyelli sayının, küçük faktöriyelli sayı çarpanlarını içinde bulundurmasıdır. Üçüncü kural, 5! ve 5!’ den sonra gelen tüm tam sayıların faktöriyel değerlerinin son rakamının sıfıra eşit olmasıdır. Dördüncü kurala göre, bir faktöriyel değeri daima tam sayıdır. Bu durum, faktöriyelin içindeki çarpanların tam sayı olmasından kaynaklanır. Beşinci kural, 0 sayısının faktöriyelinin 1 kabul edilmesidir. Benzer biçimde 1 sayısının faktöriyeli de hesaplanmaz ve 1 kabul edilir. Altıncı kurala göre, 2 ve sonrasındaki her hangi bir tam sayının faktöriyeli daima çift sayıdır. Her hangi bir tek sayı ya da çift sayı, bir çift sayı ile çarpılırsa sonuç yine bir çift sayı olur. İki ile birlikte tüm sayıların faktöriyeli içinde iki çarpanının yani en az bir çift sayının bulunması bu durumu açıklar. Yedinci kurala göre, faktöriyel değeri tek sayı olan yalnızca iki sayı vardır; 0! ve 1!. Sekizinci kurala göre, 2! ve 2!’den sonraki her hangi bir sayının faktöriyeli iki ile tam bölünür.

Faktöriyelde Toplama İşlemi

Toplama işleminin genel mantığına ek olarak paranteze alma gibi matematiksel işlemler kullanılarak toplama işlemi yapılır.

5! + 4! işlemini yapalım. 5! değeri n! = n x (n-1)! kuralından yararlanılarak 5 x 4! biçimine dönüştürülür:

5! + 4! = 5 x 4! + 4! ve yeni ifade 4! parantezine alınarak işlem devam ettirilir:

5 x 4! + 4! = 4! (5+1), parantez içindeki işlemin yapılmasıyla birlikte toplama işleminin sonucuna ulaşılır:

4! (5+1) = 4! x 6

Faktöriyelde Fark İşlemi

Faktöriyel hesaplama yapılırken toplama işlemi ile fark işlemi benzer şekillerde yapılır. Dikkat edilmesi gereken işlemin toplam mı fark mı olduğudur. Diğer işlem basamakları aynıdır.

8! – 5! işlemini yapalım. 8! ifadesi n! = n x (n-1)! ifadesinden yararlanılarak 8! = 8 x 7 x 6 x 5! şeklinde yazılır:

8! – 5! = 8 x 7 x 6 x 5! – 5! yeni ifadeli çarpma işlemi yapılarak işleme devam edilir:

336 x 5! – 5! haline gelen ifadede 5! parantezine alma işlemi yapılır.

336 x 5! – 5! = 5! (336-1) ve parantez içindeki işlem yapılarak çıkarma işleminin sonucuna ulaşılır:

5! (336-1) = 5! x 335

Faktöriyelde Çarpma İşlemi

Faktöriyel hesaplamanın temel mantığı çarpma işlemine dayanır. Bu nedenle yeni işlemler yapılmaksızın tüm sayıların çarpılmasıyla sonuca ulaşılır.

5! x 0! işlemini yapalım. Sayıların faktöriyelleri yazılır:

5! x 0! = 5x4x3x2x1x1 ve çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır:

5x4x3x2x1x1 = 120

Faktöriyelde Bölme İşlemi

Bölme işlemi yapılırken parantez içine alma ve sadeleştirme yöntemlerinden faydalanılarak işlem sonuçlandırılır:

7! / 5! işlemini yapalım. 7! ifadesi 7 x 6 x 5! şekline dönüştürülür:

7! / 5! = 7 x 6 x 5! / 5! ve 5! sayıları sadeleştirilir:

7 x 6 x 5! / 5! = 7 x 6 ve çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır:

7 x 6 = 42

Faktöriyel hesaplamaya ilişkin dört işlemin aşamalarını daha iyi görebilmek için dört işlemin karma olarak bulunduğu 10! + 9! – 8! / 7! x 2! ifadesini inceleyelim. İfadenin pay kısmında bulunan 10! ve 9! sayıları 8! ‘e indirgenir. Payda kısmı olduğu gibi bırakılır:

10! + 9! – 8! / 7! x 2! = 10 x 9 x 8! + 9 x 8! – 8! / 7! x 2! ifadenin payda kısmında değişiklik yapılmadan pay kısmındaki ifade 8! parantezine alınır:

10 x 9 x 8! + 9 x 8! – 8! / 7! x 2! = 8! (90+9 -1) / 7! x 2! elde edilen yeni ifadenin pay kısmındaki parantez içi işlemler yapılarak işlem sürdürülür:

8! (90+9-1) / 7! x 2! = 8! x 98 / 7! x 2!, yeni ifadesinin pay kısmındaki 8! sayısı paydada yer alan en büyük faktöriyelli sayı olan 7! sayısına indirgenir:

8! x 98 / 7! x 2! = 8 x 7! x 98 / 7! x 2! ve bu ifadedeki 7! değerleri sadeleştirilir:

8 x 7! x 98 / 7! x 2! = 8 x 98 / 2! payda bölümünde yer alan 2! ifadesi açık bir şekilde yazılır:

8 x 98 / 2! = 8 x 98 / 2 x 1 ve çarpma işlemleri yapılır:

8 x 98 / 2 x 1 = 784 / 2, bölme işlemi yapılarak sonuca ulaşılır:

784 / 2 = 392

Faktöriyel Hesaplama ile İlgili Sık Sorulan Sorular

Faktöriyel Hesaplamada Dört İşlem Nasıl Yapılır?

Matematik problemlerinin çözümünde faktöriyel hesaplama her zaman tek başına kullanılmaz. Faktöriyel değerleri ile dört işlemin yapılmasının gerekli olduğu durumlar vardır. Genel olarak dört işlem yapılırken n! = n x (n-1)! ifadesinden sıklıkla faydalanılır.

Faktöriyel Hesaplama Bilgisayarda Yapılabilir mi?

Faktöriyel hesaplama bilgisayarda da yapılabilir. 170! değerine kadar faktöriyel değerleri hesaplanır. 170! değerinden sonraki faktöriyel hesaplamalarının yapılabilmesi için özel programların kullanılması gerekir.