Alan Hesaplama

Alan Hesaplama

Alan hesaplama kavramı öğrencilikten günlük hayata kadar birçok farklı konuda insanların hayatında yer edinen bir kavramdır. Öyle ki öğrenciyken özellikle ilköğretim dördüncü sınıftan bu yana her sınıfta matematik ve geometri alanında karşımıza çıkan bir kavramdır. Günlük hayatta ev alırken ya da ev satarken ya da bir bina bir iş alanı yaparken başvurduğumuz ve gerekli olan bir yöntemdir. Alan hesaplaması ile mülkleri satın alırken doğru adım atılır ve bu sayede cepten ekstra para çıkmamış olur. Alan hesaplaması kare , dikdörtgen veya daire olarak karşımıza çıkabiliyor. Her birinin farklı hesaplaması mevcut iken doğru analizi bunların hesaplama yöntemlerine başvurularak gerçekleştirilir.

Alan Nedir?

Alan elimizde var olan sahip olduğumuz taşınabilir ya da taşınamaz malların somut anlamda kapladıkları yerin bilinmesidir. Bir matematiksel kavram olan alan metematiksel alanlarda olduğu gibi her kişinin günlük hayatında da lazım olan bir kavramdır. Bilinmesi kişilere ilerleme sağlayacaktır. Yüz ölçümü olarak da ifade edilen alan kavramı uluslararası ölçü biriminde herkes tarafından kabul edilen temel birim metrekaredir. Metrekare kavramı ele alınarak çeşitlendirilmiştir ve yeni ölçü birimleri metrekare merkezinde ortaya çıkmıştır. Buna göre yeni hesaplama yöntemleri metrekarenin katları ve as katları olarak ortaya çıkmıştır.

Bu durum da metrenin katları yüzer yüzer büyürken as katları da yüzer yüzer küçülmektedir. Metrekarenin as katları: desimetre, santimetre ve milimetre olarak ifade edilirken katları ise: dekametrekare, hektometrekare ve kilometrekare olarak ifade edilmektedir. Bu durumda 1 metrekare 100 dekametreye eşit olmaktadır. Daha öncede söylendiği gibi as katlar yüzer yüzer azalırken katlar yüzer yüzer artmaktadır. Yüzeylerin kaplanmasına göre de çeşitli hesaplama yöntemleri bulunmaktadır. Bunlar daire, dikdörtgen, kare, yamuk ve üçgen olmaktadır. Her birinin farklı hesaplanma yöntemi bulunmaktadır. Şimdi bunlara göz atalım.

Kare Alan Hesaplama Yöntemi

Kare, bütün kenarları birbirine eşit olan ve iç açılarının toplamı 360 derece olan düzgün dörtgendir. Diğer bir ismi ile eşkenar dörtgendir. Karenin iç açıları birbirine dik konumdadır ve her birinin sayısal değeri 90 derecedir. Karenin alan hesaplama formülü bir köşesine ‘ a² ‘dir. Sözel ifade ile bir karenin alanın kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur. Örneğin: CD kenar uzunluğu 4 cm olan bir karenin alanı kaç cm²’dir?

Çözüm: Bir karenin bir kenarının uzunluğu a ise diğer kenarlar da birbirine eşit olduğu için diğer kenarların uzunluğu da a olacaktır. Bu durumda karenin alan hesaplama formülü olan a² formülü ile çözüm bulunacaktır. Yani örneğimizde ki karenin alanı 16 cm²’dir.

Üçgen Alan Hesaplama

Üçgen, üç doğrusal açının birbirini üç nokta kesmesiyle oluşan geometrik bir şekildir. Doğrular üçgenin köşesini, noktaları birleştiren doğrular ise kenarları oluşturur. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceye, dış açıları toplamı ise 360 dereceye eşit olmaktadır. Üçgenin alanı köşelerinin harflenmesine göre gösterilir. Örneğin; bir DGK üçgenin alanı D(DGK) olarak gösterilir. Temel olarak üçgen alan hesaplaması 2 farklı şekilde yapılmaktadır.

1- Bir üçgenin kenar uzunluğunu bu kenara ait yüksekliği çarpımının yarısına eşittir. Bu sayede üçgenin alanı hesaplanır. Bu yöntem kenar uzunluğundan yararlanarak yapılan alan hesaplama yöntemidir. Formül olarak ise;

b.h/2= D(DGK) üçgeninin alanını vermektedir.

2- Üçgende alan hesaplama da üçgenin üç kenar uzunluğu verilirse ve a+b+c/2=u dersek bu aşamadan sonra D(DGK)= a.b.sin/2’dir.

Dikdörtgen Alan Hesaplama

İki uzun ve iki kısa kenardan oluşan ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan geometrik şekle dikdörtgen denir. Dikdörtgen içerisinde bulunan tüm açılarının uzunluğu 90 derecedir. Dikdörtgen iki köşegene sahiptir ve aynı zamanda simetrik bir şekildir. Dikdörtgen karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve karenin iki katı değere sahiptir. Karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

Dikdörtgenin alanı tabanı ile bu tabana ait olan yüksekliği çarpımı ile bulunmaktadır. Formül olarak T.A x h’dır.

Örneğin: Bir ABCD dikdörtgeninin AB uzunluğu 5 cm’dir. Bu alana ait yükseklik ise 10 cm’dir. Bu dikdörtgenin alanı: 50 cm’dir.

Yamuk Alan Hesaplama

Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Yamuk geometrik şekilde paralel olan kenarlara tabanlar, paralel olmayan kenarlara yanal kenarlar denmektedir. Karşılıklı iki kenarı paralel olan yamuklar da açıortay var ise ikizkenar elde edilebileceği gibi ikizkenar verilmiş ise açıortay da elde edilebilir. Yamuğun alanı, alt taban ile üst tabanın toplamının yarısı ve yüksekliğin çarpılması ile bulunur. Alt taban a, üst taban c ve yükseklik h olarak verildiğinde bir ABCD yamuğunun alanı a+c/2.h ile bulunmaktadır.

Örnek: alt taban 5 cm üst taban 4 cm olarak verilen bir ABCD yamuğunun yüksekliği 10 cm ise alanı kaç cm’dir?

Çözüm: 5.4/2.10= 100 cm’dir.

Daire Alan Hesaplama:

Daire, bir çember içerisinde kalan alana verilen isimdir. Bu alan bir çemberin kümelediği alanın kümesidir. Bir daire açık ya da kapalı olarak nitelendirilebilir. Burada aranan şart daireyi oluşturan çemberin alanının dairenin sınırlarına dahil olup olmaması ile alakalıdır. Çember daireye dahil değil ise açık , dahil ise kapalı olarak adlandırılır. Çemberin her noktası dairenin elemanıdır fakat dairenin her noktası çemberin elemanı değildir.

Dairenin Alan hesaplaması, dairenin yarıçapının değeri ile π sayısının değerinin çarpılması neticesinde ortaya çıkar ve formülü= π x r’dir.

Dairenin halkasının alanı ise,π(r1)²-π(r2)² şeklinde hesaplanır.

Daire diliminin alan hesaplamasında α/360 . π . r² formülü kullanılır.

Daire kesmesinin alanı ise, 1/2r² – (α-sinα) ya da πr².(α/360) – 1/2 r²sinα formülü ile bulunur.

Elips Alan Hesaplama

Elips, verilen iki noktaya uzaklıkları sabit geometrik şekildir. Bir elipste iki yarıçap bulunur ve bunların yarıçapları birbirinden tamamen farklıdır. Bir elipsin merkezi köşelerinin orta noktasında bulunur. Bir elips asal ve yedek eksenden oluşur. Elipsin asal ekseni 2a ve yedek ekseni 2b uzunluğundadır.

Bir elipsin alanı,(π x a x b) /4 ile bulunur.

Örnek: Asal eksen uzunluğu 10 cm olan ve yedek eksen uzunluğu 20 cm olan bir elipsin alanı kaç cm’dir?

çözüm: asal eksen= 2a’ dan 2a=10 a=5 olur. Yedek eksen= 2b’den, 2b=20, b=10 olur. Buna göre, 3.14 x 5 x 10/4= 39 olur.

Paralelkenar Alan Hesaplama:

Karşılıklı köşeleri birbirine paralel ve eş değer olan geometrik şekle paralelkenar denir. Bir paralel kenarın köşegenleri birbirini ortalar. Paralel kenarın karşılıklı kenarları ve açıları birbirine eşittir. Bir paralel kenarın iç açıları toplamı 360 derecedir.

Paralelkenar alanı, bir kenar uzunluğu ile yüksekliğin çarpılması sonucu bulunmaktadır. (A x h)

Örnek: Bir kenar uzunluğu 20 cm olan ve aynı kenara ait yüksekliği 10 cm olan bir paralel kenarın alanı kaç cm’dir?

Çözüm: Alan= 20 x 10 = 200 olur.

Örnek 2: Alanı 200 cm olan bir paralel kenarın bir kenarının uzunluğu 20 cm olduğuna göre yüksekliği kaç cm’dir?

Çözüm: 200= 20 x h olursa yükseklik buradan 10 olarak karşımıza çıkar.